Тема 10. Творческое задание

В этой теме Вам необходимо написать программу по одной из предложенных ниже тем. Приведенный список тем является лишь ориентиром, поэтому Вы можете придумать свою собственную задачу (проект). В любом случае, следует предварительно обсудить с преподавателем постановку задачи и наметить пути ее реализации.

Примерные темы проектов:

Работа над данным заданием складывается из двух этапов. На первом этапе необходимо сформулировать содержательную часть задачи, определить цели (на что будет направлена программа), выяснить конкретные физические условия и т.д., т.е. осуществить постановку задачи, а также построить математическую модель. Результаты выполнения первого этапа необходимо обсудить с преподавателем. На втором этапе необходимо разработать общую структуру программы, составить необходимые алгоритмы, написать и отладить программу. При написании программы необходимо уделить должное внимание её оформлению. Программа должна обладать минимальным, но функциональным интерфейсом, обеспечивающим удобное взаимодействие с пользователем.

 

Фигуры Лиссажу

Основной целью данной программы может являться демонстрация траекторий движения материальной точки, совершающей взаимоперпендикулярные гармонические колебания – называемые фигурами Лиссажу. Программа должна предусматривать возможность изменение параметров колебаний (амплитуд, частот, разности фаз) для получения различных траекторий.

Движение планет Солнечной системы

Цель данного проекта - разработка демонстрационной программы, иллюстрирующей движение материальных тел, происходящих под действием сил гравитации. В основе программы может быть заложена динамическая модель Солнечной системы, базирующаяся на законах Ньютона. В простейшем случае планеты можно рассматривать как материальные точки, совершающие движение в центрально-симметричном гравитационном поле относительно неподвижного силового центра (Солнца). В более сложном случае можно также учесть гравитационное взаимодействие между планетами, что несколько усложнит математическую модель. Однако, при численном решении уравнений движения это усложнение не оказывается существенным. Можно также изобразить траектории движение спутников планет, рассматривая их движение как движение материальной точки, происходящее в центрально-симметричном гравитационном поле движущейся планеты.

В качестве примера, рассмотрим задачу о движении материальной точки массой m в центрально-симметричном гравитационном поле, создаваемом неподвижным силовым центром массой M , расположенном в начале координат (см. рисунок). А также приведем алгоритм численного решения уравнений движения.

 

Уравнение движения ( ) в данном случае имеет простой вид:

Запишем его в проекциях на координатные оси:

, ,

Каждое из этих уравнений является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка. Для численного решения таких уравнений их заменяют эквивалентной системой уравнений первого порядка. В данном случае можно записать:

, ,

, .

Эти уравнения необходимо дополнить начальными условиями:

, , , ,

Начальные условия можно конкретизировать, если потребовать, чтобы движение происходило по определенной траектории, например, по окружности радиуса R . В этом случае начальные условия могут быть следующими:

, , , ,

В основе одного из простейших численных способов решения дифференциальных уравнений лежит замена производной приближенным соотношением:

, где - малое приращение аргумента.

Перепишем уравнения движения пользуясь этим приближенным соотношением:

,

,

Если известны значения скоростей и координат в момент времени ( , , , ), то пользуясь этими уравнения можно найти значение скоростей и координат в момент времени ( , , , ):

, ,

, ,

откуда получаем

, ,

, .

Аналогично, могут быть найдены значения скоростей и координат в следующий момент времени и т.д. В общем случае, можно записать:

, ,

, ,

где - номер шага. Эти формулы лежат в основе алгоритма численного решения уравнений движения.

 

Посадка спутника в атмосфере

Целью данного проекта является создание программы имитирующей полет управляемого космического аппарата, находящегося на круговой околоземной орбите и совершающего посадку. Движение космического аппарата может быть рассмотрено как движение материальной точки в центрально-симметричном гравитационном поле, создаваемом неподвижным силовым центром (планетой). При входе космического аппарата в плотные слои атмосферы необходимо учитывать наличие силы трения. Для управления полетом необходимо предусмотреть возможность включения и выключения силы тяги (а также и изменение ее направления).

 

Межпланетные перелеты

Целью данного проекта является создание программы, имитирующей полет управляемого космического аппарата, находящегося на круговой околоземной орбите и совершающего перелет к другой планете. Движение космического аппарата может быть рассмотрено как движение материальной точки в поле двух неподвижных гравитационных центров (планет). Чтобы получить траекторию движения космического аппарата необходимо составить и решить численно уравнения движения. Для управления полетом необходимо предусмотреть возможность включения и выключения силы тяги (а также и изменение ее направления).

   

Фазовые "портреты" различных колебаний

Фазовыми портретами называют траектории движения точки на плоскости (или в пространстве) координатами которой являются динамические переменные, описывающие состояние системы. Для одномерных колебаний такими координатами являются – смещение – x и скорость (или импульс) v . Фазовые портреты в совокупности с привычной пространственно-временной зависимостью дают очень наглядную и более полную картину колебательного процесса.

В предполагаемой программе можно рассмотреть различные виды колебаний: гармонические, свободные затухающие колебания, вынужденные колебания и др. При этом необходимо обеспечить возможность изменения параметров колебательной системы (собственной частоты, коэффициента затухания, характера и частоты вынуждающей силы). Программа должна отображать пространственно-временную зависимость и фазовый портрет выбранного вида колебаний.

 

Ход лучей в оптической системе

Цель данного проекта – создание демонстрационной программы по геометрической оптике. В рамках данной темы можно предложить разнообразные демонстрации от простейших до сложных. Например: ход лучей в стандартных оптических схемах, демонстрация оптических аберраций и т.п. Для придания программе универсальности желательно при ее разработке опираться не на формулы конкретных оптических систем (например, формулы тонкой или толстой линзы), а лишь на фундаментальный закон преломления. Луч можно моделировать материальной точкой, которая в оптически однородной среде совершает прямолинейное и равномерное движение с произвольной скоростью. При переходе из среды с одним показателем преломления в среду с другим показателем преломления траектория движения точки скачкообразно меняется (меняются составляющие скорости). Изменение составляющих скоростей может быть выражено на основе геометрических построений и закона преломления. Таким образом можно смоделировать прохождения луча как через одну преломляющую поверхность, так и через сколь угодно сложную оптическую систему.

 

Моделирование снегопада

Целью данного проекта является создание программы воспроизводящей на экране компьютера максимально реалистичную картину снегопада. Движение каждой снежинки будет обусловлено по крайней мере двумя факторами – силой тяжести, которая зависит от массы снежинки, и силой ветра. Масса снежинок может варьироваться случайным образом в определенном диапазоне. Поведение ветра также может носить случайный характер. Траектории движения снежинок определяются из численного решения уравнений движения.