Лабораторная работа 2

Численные методы решения нелинейных уравнений

 

Цель: Изучить численные методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным; научиться программировать алгоритмы итерационных методов уточнения корней; сравнить скорость сходимости различных методов.

 

Количество часов, отводимых на работу: 9

 

 

Перед выполнением работы рекомендуется внимательно изучить материал второй главы данного пособия, а также ответить на вопросы для самоконтроля. Расчетные программы заданий 2-6 могут быть составлены на любом алгоритмическом языке (Бейсик, Паскаль, Си, Фортран).

 

Задание 1. Графическим методом определить наличие, приблизительное расположение и количество корней заданных уравнений.

Пояснения. В ходе выполнения этого задания необходимо установить для заданных уравнений отрезки, содержащие все корни (если отрезки не заданы особо). Для этого преобразуйте исходное уравнение к виду  и постройте “от руки” приблизительные графики функций  и . Точки пересечения графиков этих функций укажут расположение корней уравнения. Уравнения для выполнения первого и последующих заданий берутся из таблицы 1 (см. приложение к работе).

 

Задание 2. Составьте программу для локализации корней табличным методом на заданном отрезке. Для задания границ отрезка (интервала поиска) используйте результаты, полученные в ходе выполнения предыдущего задания. Значение шага поиска возьмите в пределах . Результаты представьте в виде таблицы:

 

Корень

Интервал

1

2

 

Задание 3. Составьте программу для уточнения корней уравнений по методу половинного деления. В качестве начального отрезка используйте интервал, найденный при выполнении второго задания. В программе предусмотрите счетчик количества итераций, совершаемых для достижения заданной точности. Используя составленную программу определите приближенные значения корней с разной точностью e  (например, , , ). Результаты представьте в виде таблицы:

 

Корень

Приближенное значение

Точность

Кол-во итераций

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Здесь и далее в записи приближенных значений оставьте только верные цифры!

Задание 4. Составьте программу для уточнения корня по методу Ньютона (методу касательных). В программе предусмотрите счетчик количества итераций, совершаемых для достижения заданной точности. В качестве начального приближения к корню  выберите одну из границ интервала, найденного в ходе выполнения второго задания. Для правильного выбора начального приближения используйте критерий . Используя составленную программу определите приближенные значения корней с разной точностью e  (например, , , ). Результаты представьте в виде таблицы:

 

Корень

Начальное приближение

Приближенное значение

Точность

Кол-во итераций

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 5. Составьте программу для уточнения корня по методу секущих. В методе секущих необходимо задать два приближения к корню – нулевое  и первое . Нулевое приближение выбирается аналогично методу Ньютона. В качестве первого приближения можно взять величину: . Результаты представьте в виде аналогичной таблицы.

Задание 6. Составьте программу для уточнения корня по методу простых итераций. В программе предусмотрите счетчик количества итераций, совершаемых для достижения заданной точности. В качестве начального приближения к корню  выберите любую точку из интервала , найденного при выполнении задания 2. Используя составленную программу определите приближенные значения корней с разной точностью e  (например,, , ). Результаты представьте в виде, аналогичном заданию 4.

Пояснения. Преобразуйте исходное уравнение к виду, подходящему для метода простых итераций, т.е. к виду .

Проверьте основное условие сходимости метода:  для средней точки интервала . При невыполнении условия найдите другой способ перехода от исходного уравнения к уравнению в итерационной форме или запишите уравнение в виде  и выбором константы t  обеспечьте выполнение условия сходимости.

Анализ результатов. Составьте сводную таблицу (для выбранной точности, например ):

 

Корень

Приближенное значение

Количество итераций

МДОП

мет.
Ньютона

мет.
секущих

МПИ

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На основе таблицы сформулируйте выводы о скорости сходимости различных методов.

 

Отчет

Отчет о выполнении работы состоит из двух частей: теоретической и практической. В первой части отчета необходимо привести краткое описание и характеристики использованных методов (рабочая формула, условия сходимости, критерии применимости). Во второй части отчета должны быть представлены результаты выполнения практических заданий для каждого уравнения. Должны быть приведены графики, поясняющие процесс локализации корней, подробно отражены выбор начального приближения в методе Ньютона и проверка сходимости метода простых итераций, а также приведены таблицы с результатами. В заключении необходимо сделать анализ результатов и сформулировать выводы. К отчету должны быть приложены тексты расчетных программ.

 

 

Таблица 1.

№ вар

Уравнение

№ вар

Уравнение

1

11

2

12

3

13

4

14

5

15

;

6

16

7

17

;

8

18

9

19

;

10

20