Лабораторная работа 6

Построение эмпирических зависимостей
по методу наименьших квадратов

 

Цель: Научится определять параметры функциональных (эмпирических) зависимостей методом наименьших квадратов; освоить средства математического пакета Mathcad, решающих задачу среднеквадратичного приближения.

 

Количество часов, отводимых на работу: 9

 

 

Краткие теоретические сведения

Теоретические вопросы, связанные с построением эмпирических зависимостей, а также математическая формулировка метода наименьших квадратов подробно изложены в параграфе 3 третьей главы данного пособия. Перед выполнением лабораторной работы рекомендуется прочитать указанный материал и ответить на вопросы для самоконтроля, приведенные в конце главы.

Здесь же мы рассмотрим, каким образом задача построения эмпирических зависимостей может быть решена в математическом пакете Mathcad. Современный Mathcad располагает достаточно богатым ассортиментом встроенных средств (функций) для построения линейных и нелинейных зависимостей по экспериментальным данным. Сочетание этих средств со встроенной системой визуализации данных (построения разнообразных графиков) делает Mathcad удобным инструментом, позволяющим исследователю-экспериментатору быстро проводить обработку полученных эмпирических данных. При этом важно отметить, что всегда имеется возможность непосредственной реализации вычислений по рассмотренным в третьей главе формулам метода наименьших квадратов, например (3.27) и (3.28) для линейной аппроксимации или (3.31)-(3.35) для вычисления коэффициентов обобщенного полинома. Это особенно полезно для проверки корректности работы встроенных функций, которые выступают своего рода черными ящиками.

Определение коэффициентов линейного уравнения (линейная регрессия). Для решения задачи линейного регрессионного анализа, т.е. нахождения коэффициентов уравнения прямой  используются две функции intercept и slope. Функция intercept (от англ. to intercept – отсекать) возвращает значение коэффициента а, а функция slope (англ. slope – наклон) – значение коэффициента b. Пример использования функций intercept и slope приведен ниже.

 


Функции intercept и slope могут быть использованы также для определения параметров нелинейного уравнения регрессии. Для этого необходимо предварительно линеаризовать исходные данные.

В пакете Mathcad 2000 Professional появилась новая функция line(vx, vy), решающая ту же самую задачу, что и функции  intercept и slope. В качестве результата функция возвращает вектор, первый элемент которого – значение коэффициента а, в второй – значение коэффициента b, вычисленных по методу наименьших квадратов. Использование этой функции может выглядеть, например, так:

 

 

Определение коэффициента парной корреляции. При проверке выбранной эмпирической формулы по методу выравнивания, близость линеаризованных данных к линейной зависимости часто определяется “на глаз”, что может оказаться весьма обманчивым (особенно при неудачно выбранном масштабе). В математической статистике определен специальный показатель, количественно характеризующий на сколько связь между парами точек  близка к линейной. Это коэффициент парной корреляции:

 

.

 

Значения коэффициента парной корреляции всегда удовлетворяют соотношению . Чем меньше отличается абсолютная величина r от единицы, тем ближе связь между парами точек  к линейной. Если коэффициент парной корреляции равен нулю, то переменные X и Y называют некоррелированными.

Коэффициент парной корреляции может быть вычислен с помощью встроенной функции corr(vx, vy), где vx и vy – вектора, содержащие анализируемые данные.

Определение коэффициентов нелинейных зависимостей. Если в качестве эмпирической формулы выбрана одна из элементарных математических функций (экспоненциальная, логарифмическая и т.д.), то для определения ее параметров можно воспользоваться следующими функциями:

 

expfit(vx, vy, vg)          

logfit(vx, vy, vg)           

pwrfit(vx, vy, vg)          

sinfit(vx, vy, vg)           

lgsfit(vx, vy, vg)           

Каждая из этих функций имеет три параметра: vx, vy – вектора, содержащие анализируемые данные и вектор vg, элементам которого присваивают предполагаемые значения параметров a, b и с. В качестве результата функции возвращают вектор, содержащий рассчитанные значения коэффициентов a, b и с. Ниже приведен пример использования функции expfit.

 


 

Аппроксимация обобщенным многочленом. Часто аппроксимирующую функцию  выбирают в виде линейной комбинации произвольных функций (обобщенного многочлена)

 

,

 

где , , …,  – функции заданного вида (базисные функции). Задача аппроксимации сводится к нахождению коэффициентов разложения . Напомним, что для нахождения этих коэффициентов  в рамках метода наименьших квадратов необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений (3.31) с матрицей Грама.

В пакете Mathcad задачу аппроксимации обобщенным многочленом решает функция linfit(vx, vy, F). Функция имеет три параметра: первые два vx и vy – вектора, содержащие исходные данные; третий параметр F – вектор, каждый элемент которого является базисной функцией. В качестве результата функция linfit возвращает вектор коэффициентов .

Пример использования функции linfit приведен ниже.

 


Аппроксимация степенным многочленом. Для аппроксимации зависимостей степенным многочленом

 

 

используется функция regress(vx, vy, m). Функция имеет три параметра: первые два vx и vy – вектора, содержащие исходные данные; третий параметр m – степень многочлена. В качестве результата функция regress возвращает вектор, в котором первые три элемента содержат некоторые значения, используемые функцией interp, а остальные – значения коэффициентов .

Практические задания

 

Задание 1. Определить коэффициенты линейного уравнения регрессии по экспериментальным данным. Протестировать функции intercept, slope, line и regress. Исходные данные находятся в приложении к работе (таблицы 1 и 2).

Рекомендации к выполнению задания. Для ввода исходных данных сформируйте два вектора, например, X и Y, содержащие данные из таблицы 1, и постройте по этим данным точечный график.

Определите значения коэффициентов a и b по формулам (3.27) и (3.28). Для этого предварительно вычислите необходимые средние величины.

Определите значения коэффициентов a и b используя встроенные функции intercept, slope, line и regress. Сравните их результаты со значениями, полученными по формулам (3.27) и (3.28).

Определите аппроксимирующую функцию  и постройте ее график (вместе с экспериментальными точками). Найдите самую “плохую” экспериментальную точку и отметьте ее на графике. Вычислите коэффициент парной корреляции.

Аппроксимируйте линейной зависимостью данные из таблицы 2. Определите в каком из двух случаев связь между парами точек  и  наиболее близка к линейной.

 

Задание 2. Установить вид и определить параметры функциональной зависимости , полученной в ходе эксперимента, используя линейный вариант метода наименьших квадратов и метод выравнивания. Исходные данные находятся в приложении к работе (таблица 3).

Рекомендации к выполнению задания. Для ввода исходных данных сформируйте два вектора, например, X и Y, содержащие данные из таблицы 3, и постройте по этим данным точечный график.

Пользуясь таблицей с графиками элементарных функций, приведенной в приложении II, выберите две функции (эмпирические формулы) графики которых, по вашему мнению, близки к точечному графику зависимости Y от X. Обозначим выбранные функции как  и .

Определите параметры функций  и  по методу наименьших квадратов путем сведения нелинейной зависимости к линейной.

Для этого:

1) Найдите линеаризующие преобразования, сводящие нелинейную зависимость  к линейной. Примените эти преобразования к исходным данным. Линеаризованные данные запишите в новые векторы, например, XL1 и YL1.

2) Постройте точечный график зависимости YL1 от XL1. Оцените визуально насколько эта зависимость близка к линейной. Затем с помощью функций intercept и slope (или line) определите коэффициенты  и  линеаризованного уравнения. По известным значениям коэффициентов  и  вычислите параметры  и  искомой функции .

3) Выполните действия, описанные в п. 1 и 2, для второй функции .

Замечание: Если при построении графиков линеаризованных зависимостей Вы не получаете прямой (или зависимости, близкой к линейной) ни в одном из двух случаев, значит Вы неверно выбрали обе функции. Обсудите выбор эмпирической формулы с преподавателем.

Используя определенные в п. 1-3 значения коэффициентов a1, b1, a2 и b2 постройте графики функций  и  вместе с экспериментальными точками.

Рассчитайте среднеквадратичное отклонение экспериментальных точек от функций  и  и определите, какая из них является наилучшим приближением к экспериментальным данным.

 

Задание 3. Определить параметры функциональной зависимости , полученной в ходе эксперимента, используя одну из встроенных функций expfit, logfit, pwrfit и т.д. Исходные данные взять из предыдущего задания.

 

Задание 4. Аппроксимировать экспериментальную зависимость  степенным полиномом различной степени. Протестировать встроенную функцию regress.

Рекомендации к выполнению задания. Для ввода исходных данных аналогично предыдущим заданиям сформируйте два вектора, например, X и Y, содержащие данные из таблицы 4, и постройте по этим данным точечный график.

С помощью функции regress постройте аппроксимирующие полиномы 1-й, 2-й, …, (N-1)-й степени (N – количество узлов). Отобразите их графически вместе с экспериментальными точками.

Для проверки корректности работы функции regress самостоятельно (в пакете Mathcad) рассчитайте коэффициенты степенного полинома (для любого m в интервале ) по формулам метода наименьших квадратов. Сравните рассчитанные значения коэффициентов с результатами, полученными с помощью функции regress для полинома аналогичной степени.

 

Отчет

Для отчета необходимо представить результаты выполнения работы в напечатанном виде и ответить на контрольные вопросы.

 

 

Приложение I

Таблица 1.

Вариант

1

2

3

4

5

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

1.0

7.190

0.00

4.588

-5.0

17.663

2.0

0.190

0.000

2.994

1.2

7.466

0.25

4.197

-4.5

16.206

2.2

0.228

0.025

3.004

1.4

7.912

0.50

4.129

-4.0

16.360

2.4

0.246

0.050

3.012

1.6

8.495

0.75

3.066

-3.5

15.772

2.6

0.269

0.075

3.018

1.8

8.727

1.00

3.111

-3.0

14.087

2.8

0.300

0.100

3.017

2.0

8.842

1.25

2.305

-2.5

13.684

3.0

0.279

0.125

3.026

2.2

9.673

1.50

2.348

-2.0

13.080

3.2

0.334

0.150

3.033

2.4

9.622

1.75

1.414

-1.5

11.589

3.4

0.345

0.175

3.034

2.6

10.090

2.00

0.926

-1.0

11.050

3.6

0.365

0.200

3.037

2.8

10.744

2.25

0.659

-0.5

10.815

3.8

0.387

0.225

3.047

3.0

10.988

2.50

0.067

0.0

9.802

4.0

0.414

0.250

3.048

3.2

11.028

2.75

-0.818

0.5

8.603

4.2

0.441

0.275

3.055

3.4

11.897

3.00

-1.014

1.0

8.666

4.4

0.438

0.300

3.059

3.6

12.311

3.25

-1.389

1.5

7.927

4.6

0.456

0.325

3.065

3.8

12.737

3.50

-1.748

2.0

7.518

4.8

0.471

0.350

3.067

4.0

13.054

3.75

-2.831

2.5

5.723

5.0

0.513

0.375

3.076

4.2

13.166

4.00

-2.854

3.0

5.009

5.2

0.528

0.400

3.081

4.4

13.956

4.25

-3.215

3.5

5.112

5.4

0.562

0.425

3.080

4.6

13.949

4.50

-3.981

4.0

3.986

5.6

0.573

0.450

3.092

4.8

14.562

4.75

-4.299

4.5

2.822

5.8

0.584

0.475

3.096

5.0

15.312

5.00

-4.843

5.0

2.519

6.0

0.597

0.500

3.105

 


Таблица 1 (продолжение).

Вариант

6

7

8

9

10

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

10

61.53

0.00

0.539

2.50

3.538

0.50

4.178

0.000

1.525

15

70.80

0.75

1.758

3.25

4.982

0.55

4.181

0.075

1.448

20

71.05

1.50

3.557

4.00

6.101

0.60

4.497

0.150

1.301

25

86.21

2.25

5.843

4.75

7.269

0.65

4.779

0.225

1.204

30

86.54

3.00

6.541

5.50

9.526

0.70

4.962

0.300

1.090

35

91.95

3.75

10.687

6.25

9.226

0.75

5.402

0.375

1.024

40

102.44

4.50

10.866

7.00

11.117

0.80

5.541

0.450

0.894

45

109.23

5.25

12.488

7.75

11.589

0.85

5.864

0.525

0.650

50

115.56

6.00

15.414

8.50

13.847

0.90

5.881

0.600

0.609

55

125.26

6.75

17.420

9.25

13.752

0.95

6.303

0.675

0.414

60

126.35

7.50

17.010

10.00

16.087

1.00

6.346

0.750

0.363

65

138.10

8.25

21.069

10.75

16.989

1.05

6.721

0.825

0.279

70

140.17

9.00

22.861

11.50

17.316

1.10

7.062

0.900

0.065

75

149.14

9.75

23.871

12.25

19.670

1.15

7.132

0.975

0.085

80

156.95

10.50

24.990

13.00

19.849

1.20

7.566

1.050

-0.055

85

161.53

11.25

28.548

13.75

21.478

1.25

7.702

1.125

-0.210

90

166.69

12.00

30.679

14.50

22.547

1.30

7.841

1.200

-0.299

95

172.72

12.75

31.546

15.25

23.634

1.35

8.295

1.275

-0.285

100

179.69

13.50

32.900

16.00

24.541

1.40

8.568

1.350

-0.561

105

184.44

14.25

34.477

16.75

25.110

1.45

8.818

1.425

-0.612

110

193.05

15.00

36.757

17.50

26.950

1.50

8.963

1.500

-0.781

 

 


Таблица 1 (продолжение).

Вариант

11

12

13

14

15

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

-2.0

-3.47

0.0

3.63

0.0

9.199

0.0

1.758

0.00

3.83

-1.3

-3.42

0.1

4.09

0.4

7.628

0.8

1.522

0.15

3.45

-0.6

-3.01

0.2

4.54

0.8

8.223

1.6

1.375

0.30

7.46

0.1

-2.61

0.3

5.45

1.2

6.983

2.4

1.008

0.45

9.40

0.8

-2.12

0.4

5.82

1.6

6.021

3.2

0.537

0.60

11.90

1.5

-1.67

0.5

6.10

2.0

6.500

4.0

0.517

0.75

11.64

2.2

-1.38

0.6

7.50

2.4

5.309

4.8

0.056

0.90

14.18

2.9

-1.23

0.7

7.93

2.8

4.874

5.6

0.159

1.05

15.44

3.6

-1.00

0.8

8.01

3.2

3.907

6.4

-0.381

1.20

16.70

4.3

-0.47

0.9

9.24

3.6

4.091

7.2

-0.710

1.35

20.12

5.0

0.05

1.0

9.90

4.0

2.909

8.0

-0.946

1.50

21.49

5.7

-0.01

1.1

10.23

4.4

2.800

8.8

-1.174

1.65

22.15

6.4

0.56

1.2

10.21

4.8

2.063

9.6

-1.603

1.80

27.05

7.1

0.74

1.3

11.32

5.2

0.891

10.4

-1.837

1.95

25.64

7.8

1.53

1.4

11.85

5.6

0.746

11.2

-2.045

2.10

27.63

8.5

1.52

1.5

12.30

6.0

0.069

12.0

-2.211

2.25

32.91

9.2

1.87

1.6

13.18

6.4

-0.266

12.8

-2.524

2.40

32.52

9.9

2.25

1.7

13.51

6.8

-1.171

13.6

-2.599

2.55

35.05

10.6

2.50

1.8

14.56

7.2

-1.817

14.4

-3.189

2.70

35.35

11.3

2.96

1.9

14.96

7.6

-2.171

15.2

-3.280

2.85

39.94

12.0

3.22

2.0

15.60

8.0

-3.000

16.0

-3.421

3.00

40.91

 

 

Таблица 1 (продолжение).

Вариант

16

17

18

19

20

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

1.0

113.86

1.0

2.711

0.00

12.61

0.0

-2.669

0.000

1.513

1.7

115.29

1.2

2.659

0.05

12.79

0.1

-2.272

0.025

1.469

2.4

103.52

1.4

2.784

0.10

12.83

0.2

-1.574

0.050

1.350

3.1

94.89

1.6

2.773

0.15

12.95

0.3

-1.510

0.075

1.374

3.8

90.01

1.8

2.898

0.20

13.10

0.4

-0.667

0.100

1.328

4.5

79.18

2.0

2.866

0.25

13.00

0.5

-0.926

0.125

1.270

5.2

80.95

2.2

2.906

0.30

13.19

0.6

-0.126

0.150

1.217

5.9

67.40

2.4

2.981

0.35

13.39

0.7

0.129

0.175

1.066

6.6

62.04

2.6

3.005

0.40

13.38

0.8

0.644

0.200

1.123

7.3

65.96

2.8

2.981

0.45

13.66

0.9

1.066

0.225

1.070

8.0

53.04

3.0

3.068

0.50

13.58

1.0

1.293

0.250

0.946

8.7

49.97

3.2

3.126

0.55

13.70

1.1

1.347

0.275

0.921

9.4

37.75

3.4

3.186

0.60

13.93

1.2

1.617

0.300

0.882

10.1

41.64

3.6

3.131

0.65

13.81

1.3

2.173

0.325

0.772

10.8

28.95

3.8

3.245

0.70

14.08

1.4

2.644

0.350

0.793

11.5

26.81

4.0

3.306

0.75

14.10

1.5

2.971

0.375

0.785

12.2

16.38

4.2

3.301

0.80

14.19

1.6

2.922

0.400

0.633

12.9

15.38

4.4

3.368

0.85

14.19

1.7

3.482

0.425

0.625

13.6

4.72

4.6

3.399

0.90

14.24

1.8

4.006

0.450

0.619

14.3

2.81

4.8

3.425

0.95

14.42

1.9

4.247

0.475

0.486

15.0

-2.44

5.0

3.471

1.00

14.57

2.0

4.747

0.500

0.450

 

 

Таблица 2.

Вариант

1

2

3

4

5

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

0.0

8.325

5.00

13.636

0.0

2.040

0.500

3.075

30

10.663

0.6

5.083

5.45

15.655

0.3

-3.237

0.675

3.035

36

16.661

1.2

4.352

5.90

11.854

0.6

-2.306

0.850

5.050

42

33.806

1.8

8.748

6.35

18.762

0.9

-3.365

1.025

4.661

48

25.581

2.4

6.808

6.80

18.091

1.2

-1.577

1.200

4.650

54

23.617

3.0

10.249

7.25

15.012

1.5

-7.272

1.375

6.302

60

40.725

3.6

7.088

7.70

18.539

1.8

-5.800

1.550

6.169

66

31.506

4.2

9.369

8.15

17.774

2.1

-5.269

1.725

5.465

72

46.787

4.8

14.257

8.60

22.764

2.4

-8.425

1.900

6.222

78

38.142

5.4

12.230

9.05

23.710

2.7

-9.921

2.075

7.326

84

43.736

6.0

11.144

9.50

22.297

3.0

-10.230

2.250

6.065

90

46.743

6.6

14.891

9.95

23.871

3.3

-12.448

2.425

6.305

96

57.602

7.2

15.436

10.40

24.233

3.6

-8.231

2.600

5.928

102

56.346

7.8

16.943

10.85

29.793

3.9

-9.134

2.775

8.150

108

61.256

8.4

15.775

11.30

24.823

4.2

-14.582

2.950

8.345

114

50.098

9.0

20.098

11.75

29.588

4.5

-17.734

3.125

7.009

120

60.190

9.6

17.845

12.20

28.066

4.8

-15.488

3.300

7.976

126

58.535

10.2

21.788

12.65

34.041

5.1

-13.878

3.475

9.014

132

58.300

10.8

25.473

13.10

34.302

5.4

-15.107

3.650

8.440

138

72.859

11.4

23.757

13.55

32.699

5.7

-17.478

3.825

9.354

144

68.668

12.0

21.717

14.00

33.810

6.0

-19.457

4.000

9.142

150

78.223

 


Таблица 2 (продолжение).

Вариант

6

7

8

9

10

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

1.00

3.634

3.0

45.152

4.20

24.841

3.00

6.711

1.0

30.123

1.85

10.998

3.2

43.157

4.54

24.472

3.25

6.392

1.7

27.696

2.70

6.950

3.4

43.635

4.88

26.168

3.50

6.822

2.4

29.179

3.55

11.735

3.6

42.437

5.22

22.835

3.75

7.108

3.1

28.713

4.40

20.567

3.8

40.588

5.56

23.696

4.00

7.275

3.8

28.767

5.25

18.940

4.0

41.723

5.90

28.585

4.25

6.804

4.5

26.738

6.10

12.140

4.2

42.366

6.24

30.600

4.50

7.399

5.2

26.918

6.95

16.494

4.4

40.554

6.58

30.862

4.75

7.323

5.9

27.982

7.80

19.823

4.6

40.300

6.92

29.134

5.00

7.705

6.6

27.600

8.65

28.622

4.8

39.410

7.26

34.055

5.25

7.182

7.3

25.814

9.50

19.457

5.0

40.132

7.60

31.723

5.50

7.744

8.0

26.791

10.35

22.076

5.2

40.155

7.94

36.397

5.75

8.180

8.7

26.591

11.20

21.752

5.4

39.452

8.28

37.054

6.00

8.467

9.4

25.560

12.05

28.325

5.6

40.468

8.62

33.556

6.25

8.009

10.1

24.489

12.90

29.483

5.8

39.142

8.96

36.176

6.50

8.082

10.8

25.146

13.75

25.744

6.0

38.286

9.30

42.232

6.75

8.362

11.5

24.327

14.60

34.670

6.2

36.802

9.64

38.587

7.00

8.420

12.2

23.532

15.45

31.796

6.4

38.239

9.98

38.748

7.25

9.044

12.9

23.900

16.30

35.771

6.6

38.200

10.32

43.333

7.50

8.785

13.6

22.528

17.15

45.227

6.8

36.088

10.66

37.644

7.75

9.078

14.3

21.800

18.00

44.865

7.0

34.701

11.00

45.098

8.00

8.824

15.0

22.845

 


Таблица 2 (продолжение).

Вариант

11

12

13

14

15

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

0.000

2.282

-2.0

37.7

0.0

9.36

0.000

-3.06

0.00

0.189

0.075

2.376

-1.7

52.2

0.3

6.18

0.400

-6.43

0.05

0.356

0.150

2.265

-1.4

58.8

0.6

7.25

0.800

-1.21

0.10

0.456

0.225

2.089

-1.1

54.1

0.9

4.66

1.200

-2.72

0.15

0.405

0.300

2.148

-0.8

49.6

1.2

1.68

1.600

0.94

0.20

0.552

0.375

2.344

-0.5

56.2

1.5

0.91

2.000

4.87

0.25

0.650

0.450

1.771

-0.2

60.6

1.8

-0.79

2.400

1.86

0.30

0.620

0.525

2.215

0.1

60.8

2.1

-3.85

2.800

6.82

0.35

0.552

0.600

1.823

0.4

67.9

2.4

-0.61

3.200

5.72

0.40

0.610

0.675

1.967

0.7

63.0

2.7

-2.48

3.600

4.28

0.45

0.562

0.750

1.642

1.0

75.0

3.0

-8.30

4.000

7.35

0.50

0.581

0.825

1.738

1.3

67.8

3.3

-6.99

4.400

7.97

0.55

0.798

0.900

1.570

1.6

74.9

3.6

-7.63

4.800

13.10

0.60

1.005

0.975

1.610

1.9

77.1

3.9

-5.70

5.200

9.07

0.65

0.977

1.050

1.450

2.2

82.9

4.2

-6.75

5.600

9.69

0.70

1.077

1.125

1.339

2.5

77.2

4.5

-12.34

6.000

14.08

0.75

0.846

1.200

0.882

2.8

88.0

4.8

-13.28

6.400

13.12

0.80

1.013

1.275

1.131

3.1

85.8

5.1

-15.20

6.800

15.69

0.85

1.107

1.350

0.871

3.4

85.8

5.4

-13.46

7.200

17.50

0.90

1.111

1.425

0.666

3.7

89.1

5.7

-14.27

7.600

19.68

0.95

1.101

1.500

0.580

4.0

90.1

6.0

-15.27

8.000

15.99

1.00

1.049


Таблица 2 (продолжение).

Вариант

16

17

18

19

20

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

0.5

2.90

0.20

4.800

2.50

3.83

0

25.0

0.0

4.68

0.6

3.39

0.28

3.044

2.65

4.20

5

17.7

0.8

4.63

0.7

3.92

0.36

1.443

2.80

3.41

10

20.3

1.6

5.09

0.8

3.81

0.44

3.336

2.95

5.23

15

11.8

2.4

6.01

0.9

3.79

0.52

1.159

3.10

4.69

20

45.2

3.2

5.09

1.0

4.69

0.60

1.924

3.25

4.47

25

64.0

4.0

6.12

1.1

4.72

0.68

1.257

3.40

5.35

30

26.0

4.8

6.15

1.2

5.03

0.76

-0.852

3.55

4.92

35

44.2

5.6

6.47

1.3

5.54

0.84

-0.643

3.70

6.09

40

93.9

6.4

6.89

1.4

6.08

0.92

-2.566

3.85

6.86

45

77.1

7.2

7.27

1.5

5.53

1.00

-1.709

4.00

7.09

50

113.9

8.0

6.91

1.6

5.86

1.08

-1.910

4.15

7.01

55

130.4

8.8

7.66

1.7

5.73

1.16

-1.611

4.30

6.67

60

133.7

9.6

8.43

1.8

5.78

1.24

-3.704

4.45

6.60

65

123.9

10.4

8.87

1.9

7.15

1.32

-3.019

4.60

7.67

70

152.5

11.2

8.02

2.0

7.62

1.40

-4.099

4.75

7.24

75

158.3

12.0

8.51

2.1

7.36

1.48

-4.917

4.90

7.25

80

129.5

12.8

8.35

2.2

7.25

1.56

-4.585

5.05

7.96

85

143.5

13.6

9.73

2.3

7.42

1.64

-6.703

5.20

8.82

90

152.7

14.4

9.88

2.4

8.47

1.72

-6.197

5.35

8.76

95

187.8

15.2

9.49

2.5

8.50

1.80

-6.899

5.50

8.56

100

207.7

16.0

10.61

 

 


Таблица 3.

Вариант

1

2

3

4

5

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

1.0

6.087

2.0

18.434

1.00

10.037

0.100

20.891

1.0

3.061

1.3

6.071

2.5

14.234

1.65

10.966

0.145

14.852

1.6

2.952

1.6

6.939

3.0

11.248

2.30

11.679

0.190

11.707

2.2

2.954

1.9

6.926

3.5

9.076

2.95

12.381

0.235

9.536

2.8

3.105

2.2

7.198

4.0

6.736

3.60

12.440

0.280

8.310

3.4

3.715

2.5

8.751

4.5

5.497

4.25

12.982

0.325

6.937

4.0

4.270

2.8

7.704

5.0

4.178

4.90

13.123

0.370

6.564

4.6

3.795

3.1

9.591

5.5

3.281

5.55

13.582

0.415

6.099

5.2

4.561

3.4

11.292

6.0

2.337

6.20

13.524

0.460

5.238

5.8

4.496

3.7

11.717

6.5

1.839

6.85

14.041

0.505

4.842

6.4

4.686

4.0

13.374

7.0

1.641

7.50

13.826

0.550

4.526

7.0

5.333

4.3

14.449

7.5

1.183

8.15

14.033

0.595

4.351

7.6

5.556

4.6

16.513

8.0

0.941

8.80

14.568

0.640

3.960

8.2

6.394

4.9

15.988

8.5

0.451

9.45

14.338

0.685

4.068

8.8

6.899

5.2

18.003

9.0

0.305

10.10

14.769

0.730

4.152

9.4

7.695

5.5

19.742

9.5

0.470

10.75

14.824

0.775

3.732

10.0

7.863

5.8

22.947

10.0

0.337

11.40

14.856

0.820

3.615

10.6

8.546

6.1

22.655

10.5

0.334

12.05

15.106

0.865

2.967

11.2

9.632

6.4

24.337

11.0

0.517

12.70

15.080

0.910

3.608

11.8

9.906

6.7

27.533

11.5

0.492

13.35

14.924

0.955

3.379

12.4

10.530

7.0

28.128

12.0

0.042

14.00

15.433

1.000

2.985

13.0

11.741

 


Таблица 3 (продолжение).

Вариант

6

7

8

9

10

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

1.00

6.256

0.500

14.102

0.500

10.070

1.500

0.917

0.80

0.231

1.35

8.876

0.875

12.352

0.675

11.412

2.225

0.769

1.36

2.329

1.70

8.213

1.250

11.306

0.850

12.062

2.950

0.519

1.92

4.348

2.05

8.890

1.625

10.588

1.025

12.525

3.675

1.165

2.48

4.825

2.40

9.251

2.000

9.856

1.200

12.781

4.400

0.969

3.04

6.025

2.75

12.389

2.375

9.173

1.375

13.049

5.125

1.434

3.60

6.610

3.10

13.519

2.750

8.695

1.550

13.413

5.850

1.364

4.16

7.640

3.45

13.197

3.125

8.470

1.725

13.508

6.575

1.888

4.72

7.885

3.80

15.878

3.500

8.204

1.900

13.646

7.300

1.822

5.28

7.842

4.15

17.322

3.875

7.871

2.075

13.908

8.025

2.235

5.84

8.830

4.50

20.343

4.250

7.529

2.250

13.780

8.750

2.604

6.40

9.048

4.85

22.400

4.625

7.222

2.425

14.071

9.475

3.436

6.96

9.461

5.20

24.531

5.000

7.354

2.600

13.859

10.200

3.718

7.52

9.907

5.55

25.138

5.375

6.882

2.775

14.029

10.925

4.579

8.08

9.784

5.90

30.102

5.750

6.737

2.950

14.141

11.650

5.041

8.64

10.194

6.25

32.759

6.125

6.819

3.125

14.180

12.375

5.732

9.20

10.433

6.60

35.204

6.500

6.458

3.300

14.150

13.100

6.929

9.76

10.680

6.95

40.451

6.875

6.212

3.475

14.239

13.825

7.820

10.32

10.783

7.30

44.926

7.250

6.374

3.650

14.328

14.550

9.343

10.88

11.497

7.65

50.814

7.625

6.061

3.825

14.382

15.275

10.493

11.44

11.064

8.00

55.744

8.000

5.775

4.000

14.474

16.000

11.963

12.00

11.502

 

 

 

Таблица 3 (продолжение).

Вариант

11

12

13

14

15

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

0.0

2.22

0.0

2.912

2.0

1.68

1.00

10.14

0.500

1.323

0.3

2.55

0.1

2.660

2.3

1.81

1.25

9.79

0.575

1.466

0.6

2.75

0.2

2.458

2.6

2.01

1.50

9.50

0.650

1.513

0.9

3.20

0.3

2.076

2.9

2.04

1.75

9.34

0.725

1.497

1.2

3.35

0.4

1.722

3.2

2.16

2.00

9.20

0.800

1.662

1.5

4.19

0.5

1.657

3.5

2.22

2.25

8.97

0.875

1.757

1.8

3.31

0.6

1.447

3.8

2.34

2.50

8.94

0.950

1.741

2.1

4.42

0.7

1.198

4.1

2.40

2.75

8.84

1.025

1.767

2.4

5.06

0.8

1.120

4.4

2.43

3.00

8.81

1.100

1.845

2.7

5.17

0.9

0.985

4.7

2.45

3.25

8.81

1.175

1.918

3.0

6.39

1.0

0.809

5.0

2.58

3.50

8.69

1.250

2.143

3.3

5.79

1.1

0.530

5.3

2.52

3.75

8.68

1.325

2.151

3.6

7.67

1.2

0.607

5.6

2.68

4.00

8.62

1.400

2.393

3.9

8.45

1.3

0.518

5.9

2.73

4.25

8.60

1.475

2.290

4.2

8.06

1.4

0.476

6.2

2.72

4.50

8.50

1.550

2.493

4.5

9.86

1.5

0.546

6.5

2.72

4.75

8.57

1.625

2.674

4.8

10.72

1.6

0.285

6.8

2.79

5.00

8.53

1.700

2.746

5.1

11.97

1.7

0.270

7.1

2.85

5.25

8.43

1.775

2.843

5.4

13.07

1.8

0.259

7.4

2.83

5.50

8.42

1.850

3.061

5.7

14.70

1.9

0.342

7.7

2.95

5.75

8.46

1.925

3.218

6.0

15.97

2.0

0.218

8.0

2.88

6.00

8.41

2.000

3.364

 

 

 

 

Таблица 3 (продолжение).

Вариант

16

17

18

19

20

x

0.0

2.5

5.0

7.5

10.0

12.5

15.0

17.5

20.0

22.5

25.0

27.5

30.0

32.5

35.0

37.5

40.0

42.5

45.0

47.5

50.0

y

3.477

4.982

4.199

5.924

5.523

7.768

9.030

8.303

10.581

12.072

12.762

13.815

17.329

19.920

21.662

23.869

27.212

31.695

35.959

41.443

44.877

x

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

2.25

2.50

2.75

3.00

3.25

3.50

3.75

4.00

4.25

4.50

4.75

5.00

y

13.43

11.83

10.07

8.90

7.85

6.70

5.82

5.18

4.85

3.60

3.42

3.80

3.29

3.38

2.19

1.92

1.62

1.22

1.47

1.48

1.79

x

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

4.4

4.6

4.8

5.0

y

1.303

1.504

1.637

1.832

2.021

2.077

2.151

2.265

2.259

2.340

2.233

2.300

2.395

2.436

2.380

2.349

2.513

2.378

2.476

2.517

2.485

x

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

4.4

4.6

4.8

5.0

y

2.89

2.65

2.19

2.07

1.93

1.59

1.50

1.50

1.31

1.09

1.19

1.10

1.09

0.74

0.67

0.81

0.64

0.47

0.51

0.36

0.36

x

0.00

0.15

0.30

0.45

0.60

0.75

0.90

1.05

1.20

1.35

1.50

1.65

1.80

1.95

2.10

2.25

2.40

2.55

2.70

2.85

3.00

y

7.997

6.473

5.026

4.065

3.304

2.573

2.118

1.671

1.366

1.065

0.885

0.682

0.589

0.462

0.320

0.261

0.207

0.172

0.228

0.129

0.081

 

 

Таблица 4.

Вариант

1

x

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

y

1.2

3.1

5.7

4.6

2.5

2.1

1.3

2.5

4.1

7.9

2

x

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

y

12.5

8.9

7.5

5.3

3.8

2.3

1.5

1.2

1.05

1.0

3

x

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

y

0.0

1.2

6.7

12.6

9.8

5.8

3.6

1.5

1.1

0.7

4

x

0.55

0.8

0.93

1.16

1.31

1.48

1.78

2.06

2.58

2.89

y

0.44

0.8

1.63

1.26

1.07

1.11

0.83

0.37

0.21

0.15

5

x

1.0

1.6

2.2

2.8

3.4

4.0

4.6

5.2

5.8

6.4

y

5.7

4.8

3.9

3.7

3.8

2.1

1.9

1.6

1.2

2.4

6

x

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

y

1.0

0.65

0.2

0.05

0.02

0.05

0.02

0.65

0.9

1.0

7

x

1.0

1.6

2.2

2.8

3.4

4.0

4.6

5.2

5.8

6.4

y

12.8

13.1

13.67

14.2

30.8

50.76

62.45

65.43

66.1

66.67

8

x

1.0

1.8

2.6

3.4

4.2

5.0

5.8

6.6

7.4

8.2

y

31.5

5.3

2.1

1.12

0.07

-0.1

-2.5

-7.8

-12.5

-27.2

9

x

-2.8

-2.7

-2.0

-1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

y

-11.4

-5.4

-1.2

-0.2

0.0

0.25

2.0

6.5

12.8

23.6

10

x

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

y

0.0

0.35

0.8

0.95

0.98

0.95

0.8

0.35

0.1

0.0

11

x

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

1.8

2.1

2.4

2.7

y

-1.0

0.1

1.3

1.7

0.3

0.7

2.5

3.0

2.9

2.7

12

x

-5.0

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

y

12.5

7.8

2.3

0.4

-4.1

0.2

1.9

4.8

9.4

10.5

13

x

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

y

4.5

4.6

4.4

3.5

1.3

0.2

0.1

0.3

0.2

0.2

14

x

-1.5

-1.25

-1.0

-0.75

-0.5

-0.25

0.0

0.25

0.5

0.75

y

0.1

0.12

0.7

1.4

2.9

1.6

0.6

0.2

0.1

0.05

15

x

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

y

0.0

2.7

9.3

10.4

10.6

10.7

10.6

9.8

9.1

8.7

16

x

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

y

0.01

0.03

0.28

1.9

1.5

1.3

1.1

1.6

2.2

2.28

17

x

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

y

1.5

1.9

2.5

5.7

4.8

3.3

2.5

1.6

1.0

0.8

18

x

0.0

0.25

0.5

0.75

1.0

1.25

1.5

1.75

2.0

2.25

y

0.0

1.3

6.9

11.6

8.7

6.2

4.1

1.6

1.3

0.5

19

x

0.5

0.8

1.1

1.4

1.7

2.0

2.3

2.6

2.9

3.1

y

0.4

0.85

1.67

1.16

1.67

1.21

0.74

0.28

0.19

0.13

20

x

1.0

1.6

2.2

2.8

3.4

4.0

4.6

5.2

5.8

6.4

y

1.7

1.8

3.9

2.7

6.8

7.1

5.9

3.6

2.2

0.4


Приложение II