Лабораторная работа 4

Интерполирование функций

 

Цель: Изучить способы построения интерполяционных полиномов; научиться вычислять приближенные значения функций, заданных таблично, различными интерполяционными методами.

 

Количество часов, отводимых на работу: 2

 

 

Перед выполнением работы изучите материал первого и второго параграфов третьей главы данного пособия и ответьте на вопросы для самоконтроля (1-5).

 

Задание 1. По заданной таблице значений функции

 

x

y

 

построить интерполяционный полином в каноническом виде, а также полиномы Лагранжа и Ньютона. Показать, что все три полинома тождественно равны.

Пояснения. Для определения коэффициентов интерполяционного полинома в каноническом виде необходимо составить систему линейных уравнений (4.3) и решить её любым известным методом. Полином Лагранжа строиться непосредственно по формуле (4.4), а коэффициенты полинома Ньютона находятся из решения системы (4.6). Для доказательства тождественности полиномов упростите выражения для полиномов Лагранжа и Ньютона и приведите их  к каноническому виду. Исходные данные для выполнения задания приведены в приложении к работе (таблица 1).

 

Задание 2. Для заданной функции составить таблицу значений в определенном интервале изменения аргумента и используя кусочно-линейную и кусочно-квадратичную интерполяцию определить приближенные значения функции в произвольных точках, несовпадающих с узловыми. Оценить погрешность интерполяции.

Пояснения. Для применения кусочно-линейной интерполяции необходимо сначала определить интервал, в который попадает аргумент, и затем по формуле (4.11) вычислить приближенное значение функции. В случае кусочно-квадратичной интерполяции следует выбрать три узла, ближайших к заданному значению аргумента, и воспользоваться формулой (4.12). Функции и интервалы табулирования приведены в приложении (таблица 2). Количество узлов для построения таблицы произвольно (от 5 до 10). Значения аргумента, в которых необходимо вычислить приближенные значения функции задайте самостоятельно  (не менее трех разных значений).

 

Приложение к работе 3

 

Таблица 1.

Вариант

1

-1

0

3

-3

5

2

2

2

3

5

4

1

7

3

0

2

3

-1

-4

2

4

7

9

13

2

-2

3

5

-3

-1

3

7

-1

4

6

1

2

4

-3

-7

2

7

-2

-1

2

4

9

1

8

2

4

5

9

-3

6

9

-4

-2

0

2

8

5

10

2

4

7

-1

-6

3

11

0

1

4

7

-1

8

12

-8

-5

0

9

-2

4

13

1

4

9

-2

9

3

14

7

8

10

6

-2

7

15

-3

1

5

4

-2

1

16

-1

0

5

-3

1

-4

17

0

3

8

1

5

-4

18

-3

-1

1

9

-1

6

19

-7

-5

-4

4

-4

5

20

-5

1

3

6

1

2

 

 

Таблица 2.

Вариант

Функция

Вариант

Функция

1

,

11

,

2

,

12

,

3

,

13

,

4

,

14

,

5

,

15

,

6

,

16

,

7

,

17

,

8

,

18

,

9

,

19

,

10

,

20

,