Лабораторная работа 7

Численное дифференцирование

 

Цель: Научится применять численные методы дифференцирования функций, заданных аналитическим выражением и таблично; исследовать точность различных аппроксимирующих формул.

 

Количество аудиторных часов, отводимых на работу: 2

 

 

Перед выполнением работы изучите материал первого параграфа четвертой главы данного пособия и ответьте на вопросы для самоконтроля в конце главы.

 

Задание 1. Вычислить в указанных точках приближенные значения первой и второй производных функции, заданной таблично, используя:

а) левые и правые разностные отношения (4.4) и (4.5);

б) центральное разностное отношение (4.7);

в) приближенное соотношение (4.8) для второй производной.

Пояснения. Табличные значения функций и точки (a, b, c), в которых нужно вычислить производные приведены в приложении к работе (таблица 1).

 

Задание 2. Построить графики первой и второй производных функции, заданной аналитическим выражением, используя приближенные соотношения (4.5), (4.7) и (4.8) и точные выражения для соответствующих производных. Исследовать поведение погрешности формул численного дифференцирования от значения шага h.

Пояснения. Для функции, заданной аналитическим выражением, приближенные формулы (4.5), (4.7) и (4.8) можно записать следующим образом:

 

,   ,

 

,

 

где h – малое приращение аргумента (шаг). Используя приведенные формулы постройте графики первой и второй производных для разных значений h, например, 0.5, 0.1 и 0.01. Исходные данные для выполнения задания приведены в приложении к работе (таблица 2).


В качестве примера построим точный и приближенные графики первой производной для функции .

 

Графики второй производной строятся аналогично.

Для исследования зависимости погрешностей формул численного дифференцирования от значения шага h, можно определить функции   и  и построить их графики в интервале изменения h от  до 1 при некотором фиксированном значении аргумента x. По графикам определите оптимальное значение шага дифференцирования.

Примечание: Для построение графиков погрешностей определите переменную диапазон i := 0 ..15 и вектор hi := 10-i. Постройте графики O1(hi) и O2(hi) от hi. Для обеих осей выберите логарифмический масштаб.

 

Отчет

В качестве отчета необходимо представить распечатки документа Mathcad с выполненными заданиями и анализом результатов.


Приложение к работе 7

 

Таблица 1.

Вариант

a

b

c

1

0.2

0.4

0.6

0.8

12.2

8.7

4.6

6.7

0.33

0.48

0.7

2

1.0

1.5

2.0

2.5

0.52

0.31

0.38

0.89

1.3

1.7

2.2

3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.0

1.45

18.3

17.6

0.05

0.18

0.22

4

0

2

4

6

-2.5

0.17

2.5

0.3

0.5

2.5

5.5

5

0.1

0.3

0.5

0.7

23.4

17.8

0.4

8.9

0.25

0.35

0.6

6

1

2

3

4

0.06

0.11

1.78

0.09

1.3

2.5

3.8

7

0.5

1.0

1.5

2.0

4.5

3.7

1.8

1.1

0.76

1.3

1.8

8

0.0

0.3

0.6

0.9

0.0

12.3

13.1

12.2

0.25

0.4

0.7

9

1.2

1.4

1.6

1.8

3.5

1.3

1.1

2.9

1.25

1.55

1.7

10

0.0

2.5

5.0

7.5

0.01

0.27

0.89

0.56

1.5

3.8

6.1

11

0.2

0.4

0.6

0.8

2.2

0.87

0.46

0.67

0.3

0.41

0.72

12

1.0

1.5

2.0

2.5

0.43

0.28

0.16

0.76

1.45

1.68

2.1

13

0.0

0.1

0.2

0.3

0.22

1.57

12.6

14.1

0.04

0.16

0.27

14

0

2

4

6

0.2

0.76

1.6

0.9

1.2

2.3

5.1

15

0.1

0.3

0.5

0.7

13.3

7.4

1.2

3.9

0.22

0.32

0.62

16

1

2

3

4

0.2

1.2

4.7

0.8

1.4

2.6

3.2

17

0.5

1.0

1.5

2.0

3.2

4.5

2.6

1.4

0.76

1.2

1.6

18

0.0

0.3

0.6

0.9

0.3

2.3

3.6

2.7

0.22

0.45

0.8

19

1.3

1.6

1.9

2.2

1.4

0.7

2.6

1.6

1.5

1.8

2.0

20

0.0

2.4

4.8

7.2

1.06

0.01

-0.2

0.06

1.0

3.0

5.0

 

 

 

Таблица 2.

Вариант

Функция

Вариант

Функция

1

,

11

,

2

,

12

,

3

,

13

,

4

,

14

,

5

,

15

,

6

,

16

,

7

,

17

 

8

,

18

,

9

,

19

,

10

 

20

,