Введение

 

 

Вычислительный эксперимент. В современных научных исследованиях (в частности исследовании физических объектов, явлений и процессов в природе) можно выделить три направления: экспериментальное, теоретическое и вычислительное.

Экспериментальное направление характеризуется тем, что для исследования объектов и явлений материального мира ставится специальный научный опыт – натурный эксперимент, в котором целенаправленно изучаются явления природы или объект в строго учитываемых условиях. При проведении эксперимента обеспечивается возможность следить за изучаемым физическим объектом, воздействовать на него другими объектами, изменять условия протекания изучаемого процесса. Исторически именно натурный эксперимент был первым источником знаний об окружающем мире.

Теоретическое направление базируется на построении и аналитическом исследовании математических моделей – «эквивалентов» физических объектов, отражающих в математической форме важнейшие их свойства.

В основе  вычислительного направления научного познания лежит вычислительный эксперимент. Суть вычислительного эксперимента можно выразить в триаде «модель – алгоритм – программа». Проведение вычислительного эксперимента предполагает определенный план действий, которые условно можно разбить на три этапа.

На первом этапе выбирается (или строится) математическая модель объекта, которая затем исследуется теоретическими методами. В ходе теоретического исследования модели находят предельные, асимптотические решения, которые позволяют получить важные предварительные знания об объекте.

Второй этап – выбор (или разработка) алгоритма для реализации модели на компьютере. Модель представляется в форме, удобной для применения численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических операций, которые нужно произвести, чтобы найти  решение с заданной точностью.

На третьем этапе создаются компьютерные программы, «переводящие» модель и алгоритм на доступный компьютеру язык. Их можно назвать «электронным» эквивалентом изучаемого объекта, уже пригодным для непосредственного испытания на «экспериментальной установке» – компьютере.

Создав триаду «модель – алгоритм – программа», исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который в начале отлаживается на решении тестовых задач, допускающих точное аналитическое решение. После того, как адекватность (достаточное соответствие) триады исходному объекту удостоверено, с моделью проводятся разнообразные подробные «опыты», дающие требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта. Процесс моделирования сопровождается улучшением и уточнением, по мере необходимости, всех звеньев триады.

Для изучения многих явлений природы вычислительный эксперимент является единственным средством получения научного знания в связи с принципиальной невозможностью натурного эксперимента либо из-за масштабов явления, либо из-за невозможности создать необходимые физические условия. Примерами могут служить крупномасштабные экологические эксперименты, направленные на изучение глобальных климатических изменений при воздействии различных факторов, в том числе, последствий ядерных взрывов; исследования эволюции галактик, а также изучение взаимодействия элементарных частиц сверхвысоких энергий.

Математическое моделирование. Всякое явление природы бесконечно в своей сложности. Чтобы описать явление, необходимо выявить самые существенные свойства, закономерности, внутренние связи, роль отдельных характеристик явления. Выделив наиболее важные факторы, влияющие на происходящие процессы, можно пренебречь менее существенными. Выделяя наиболее существенные свойства реального объекта, исследователь описывает их с помощью математических соотношений, составляющих математическую модель этого объекта. Основное требование, предъявляемое к математической модели, – адекватность рассматриваемому явлению, т.е. она должна достаточно точно (в рамках допустимых погрешностей) отражать характерные черты явления. Вместе с тем она должна обладать сравнительной простотой и доступностью исследования.

В качестве примера рассмотрим построение математической модели, описывающей движение камня, падающего вниз с некоторой высоты  с начальной скоростью . Поскольку движение камня происходит в атмосфере (вязкой среде), при падении ему приходится преодолевать сопротивление воздуха. Можно ли считать в этом случае, что скорость падения камня определяется только высотой, с которой он падает, его начальной скоростью и силой притяжения? Иначе говоря, можно ли пренебречь силой сопротивления воздуха? Оказывается это зависит от многих факторов, в частности, от средней плотности камня, его линейных размеров, а также от того, с какой высоты происходит падение. Так, например, если плотность камня существенно больше плотности воздуха, размеры камня, начальная высота и скорость малы, то сопротивление воздуха незначительно сказывается на скорости падения камня. В этом случае можно рассматривать свободное падение камня с ускорением g. Соответствующие соотношения для высоты и скорости хорошо известны:

 

,   .                      (0.1)

 

Эти формулы являются математической моделью свободного падения тела (и, в данном случае, они же являются решением задачи).

Если же падение камня происходит с достаточно большой высоты, то в процессе движения он может развить большую скорость и сила сопротивления воздуха (которая, в случае вязкого трения, пропорциональна скорости) может стать существенной. Аналогично, при рассмотрении движения в атмосфере тел малой плотности, падения капли, спуска на парашюте нельзя пренебрегать силой сопротивления воздуха. В этих случаях модель свободного падения тела уже не может быть использована, поскольку при ее применении мы получили бы неверный результат. Следовательно здесь нужно построить более точную математическую модель, учитывающую сопротивления воздуха. Если обозначить через  силу сопротивления, действующую на тело массой m, то его движение можно описать с помощью следующих уравнений движения

 

,   ,                        (0.2)

 

К этой системе необходимо добавить начальные условия при :

 

,  .

 

 В совокупности с начальными условиями (и другими известными исходными данными) указанные уравнения образуют математическую модель движения тел в атмосфере.

Математические модели, являясь мощным инструментом познания мира, могут претерпевать существенные изменения в ходе уточнений наших знаний об окружающем мире.

Ярким примером такого рода моделей является модель Солнечной системы. Еще в II веке нашей эры древнегреческий ученый Птолемей разработал геоцентрическую модель, исходившую из предположения, что все планеты и Солнце вращаются вокруг неподвижной Земли. Пользуясь этой теорией, уже можно было составить алгоритмы вычисления положения небесных тел. Теория была очень сложна и все усложнялась, чтобы быть лучше согласованной с результатами наблюдений. Лишь 1543 г. Коперник сделал крупный шаг вперед, построив гелиоцентрическую модель в предположении, что планеты движутся вокруг Солнца по окружностям (эпициклам). Эта модель позволила более точно рассчитывать движение планет и объяснять многие непонятные ранее астрономические явления (например, такие как петлеобразное движение планет на небосводе). Однако и Коперник и Птолемей были в плену механики Аристотеля, признававшей только простое движение, т.е. по прямой и по окружности. Это сильно сковывало теорию Коперника.

Следующий шаг в развитии модели Солнечной системы связан с именем Кеплера (начало XVII в.), сформулировавшего на основе данных наблюдений три закона движения планет. И, наконец, Ньютон (вторая половина XVII в.) предложил динамическую модель Солнечно системы, основанную на законе всемирного тяготения. Модель стала настолько совершенной, что в 1845 г. английский астроном и математик Джон Адамс и французский астроном Урбан Леверье (в 1846 г.) независимо вычислили местоположение, орбиту и массу новой планеты (Нептун). Они исходил из того, что в движении планеты Уран были замечены некоторые противоречия, которые бы снимались, если бы в определенном месте была бы другая планета. Это несомненно является «научным подвигом» навсегда вошедшим в историю науки, ведь все расчеты выполнялись вручную. Адамс даже сконструировал новый метод численного решения дифференциальных уравнений, за которым закрепилось его имя. В 1846 г. немецким астрономом Галле планета была обнаружена. Позднее, в 1930 г. аналогичным образом была открыта планета Плутон. Эти планеты, как говорят, были открыты на кончике пера, т.е. теоретически.

Численные методы. С помощью математического моделирования решение научной задачи сводится к решению математической задачи, являющейся её моделью. Для решения математических задач используются две основные группы методов: аналитические и численные.

Аналитические методы позволяют получить решение задачи в виде формул. В частности, если математическая задача состоит в решении простейших алгебраических или дифференциальных уравнений и т.п., то использование известных из курса математического анализа приемов сразу приводит к цели. К сожалению, на практике это бывает достаточно редко. Например, если задача свелась к решению уравнения с одной переменной:

 

,

 

то при всей тривиальности этой задачи выразить корни уравнения путем аналитических преобразований не удается. Аналогичные проблемы возникают также и при решении других математических задач. В частности, подавляющая часть нелинейных дифференциальных уравнений не решаются аналитическими способами; при вычислении определенных интегралов также часто не удается выразить первообразную через элементарные функции; нахождение решений систем линейных алгебраических уравнений больших размерностей прямыми методами может приводить к нереальным затратам времени даже при использовании вычислительной техники.

Для решения таких задач разрабатываются и применяются методы приближенных вычислений или численные методы, позволяющие свести решение математической задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами.

Отметим основные отличия численных методов от аналитических. Нередко в литературе делается акцент на то, что численные методы способны дать лишь приближенное решение задачи в отличие от аналитических методов, позволяющих найти точное решение. Однако это различие не столь принципиально, если решение задачи должно быть доведено до числа, что, собственно, и имеет место в прикладных задачах. Если теоретически доказано, что приближенный метод при определенных условиях сходится к точному решению, то с его помощью это решение может быть получено с любой требуемой точностью.

Более важным отличием и преимуществом аналитических методов перед численными является то, что они позволяют получить общее решение задачи в виде формулы, по которой можно изучать качественные особенности решения, например, его предельное, асимптотическое поведение, а также исследовать влияние начальных условий и параметров задачи на характер решения. Численные методы позволяют найти только частное решение задачи с конкретными значениями параметров и исходных данных.

Поясним это отличие на примере. По формулам (0.1) (по аналитическому решению) можно проанализировать, как изменится закон движения камня при изменении параметра g и начальных значений  и . Если в модели (0.2) выражение для  имеет простой вид (например, ), то можно получить аналитическое решение, аналогично (0.1). Это решение тоже можно легко исследовать на предмет зависимости от изменения параметров и начальных условий. Если же выражение для  достаточно сложно, то задачу (0.2) можно решить только численно. При этом вместо общей формулы для  и  в результате численного решения будут получены значения v и h для некоторого набора моментов времени t при конкретных значениях g, m,  и . Для получения решения при других значениях параметров или других начальных условиях нужно будет провести новый расчет. Для анализа зависимости решения от параметров и начальных условий потребуется проведение целой серии расчетов. Таким образом, численное решении задачи и изучение свойств этого решения сопряжено с проведением большого объема вычислительной работы, что оказывается возможным лишь при использовании вычислительной техники

Разработка численных методов и алгоритмов приближенного решения типовых математических задач с использованием вычислительной техники составляет предмет вычислительной математики – одного из современных и развивающихся разделов математики.

Из истории развития численных методов. История возникновения и развития численных методов неразрывно связана с историей математики в целом, историей других фундаментальных наук, таких как физика и астрономия, а также теснейшим образом связана с историей развития вычислительной техники.

На этапе своего возникновения и начального развития вплоть до середины XVI века математика оперировала исключительно числами. В то время, разумеется, не существовало и не могло существовать различия между численными и аналитическими методами.

Математики XVI и начала XVII веков испытывали огромные трудности вычислительно-практического характера. Прежде всего эти трудности концентрировались вокруг задачи составления таблиц тригонометрических функций и связанной с этим задачей определения значения числа p. Над вычислениями таблиц тригонометрических функций работали Коперник, Кеплер и их ученики и сотрудники. Другой задачей являлось отыскание простых и надежных алгоритмов численного определения корней уравнений с данными числовыми коэффициентами.

В начале XVII были изобретены логарифмы. Усилиями энтузиастов математики И. Бюрги (1620) и Дж. Непер (1614) были составлены таблицы логарифмов, которые очень быстро, в течение менее чем столетия, распространились по всему миру и сделались незаменимым вспомогательным инструментом при вычислениях. В России регулярные издания таблиц логарифмов датируются с 1703 г., когда появились таблицы Влакка.

Неотъемлемой частью вычислений с использованием таблиц тригонометрических функций и логарифмов становится интерполяция, позволяющая сгущать таблицы.

Ученые-математики XVII века искали также и другие пути преодоления вычислительных трудностей. В разных городах Европы стали появляться счетные машины. По-видимому, самой ранней машиной была машина немецкого профессора Вильгельма Шиккарда (1623), преподававшего в г. Тюбингене математику и астрономию. Сведения об этой машине появились только в 1958 г. Ее схема и объяснения к этой схеме были обнаружены в архиве Кеплера, а затем в архивах библиотеки Штутгарта. Машина Шиккарда состояла их трех частей: суммирующее устройство, множительное устройство и механизм для записи промежуточных результатов. В 1642 г. появляется арифмометр Блеза Паскаля, который позднее (1673-1674) был усовершенствован Лейбницем. Однако счетные устройства еще долгое время были несовершенны и не имели широкого распространения вплоть до 1874 г., когда инженер Вильгодт Однер (Петербург) изобрел специальное устройство – колесо Однера, употреблявшееся в простейших вычислительных машинах до конца XX века.

К концу XVII  века складывается символьный язык алгебры и создается, а затем систематически используется, развивается и совершенствуется аппарат дифференциального и интегрального исчисления. В это время физика обретает свой «естественны» язык, на котором формулируются фундаментальные законы природы (как правило в виде систем дифференциальных уравнений), выводятся из них следствия, допускающие экспериментальную проверку, решаются задачи, имеющие как фундаментальное, так и прикладное значение.

Однако сами создатели математического анализа – Ньютон, Лейбниц и их последователи столкнулись с ограничениями в области применения аналитических методов к решению ряда фундаментальных и прикладных задач. В частности, многие дифференциальные уравнения, важные для практики, не решались в квадратурах, т.е. не интегрировались аналитически. Попытки выразить аналитически корни алгебраических уравнений выше четвертой степени также оставались безуспешными. Поэтому параллельно с развитием аналитических методов математики разрабатывают методы приближенных вычислений для решения неотложных прикладных задач.

В 1669 г. Ньютон предложил метод касательных для приближенного решения алгебраических уравнений, а  в 1676 г. – способ приближенного вычисления определенных интегралов, который был затем развит в работах Роджера Котеса. В 1743 году математик самоучка Томас Симпсон опубликовал формулу для приближенного вычисления определенных интегралов, носящую ныне его имя. В 1768 г. Леонард Эйлер разработал  метод численного решения дифференциальных уравнений. Однако все эти методы требовали огромного количества вычислений и были практически «неподъемны» для ручного счета.

Уже в начале XIX века уровень развития ряда наук и областей практической деятельности (физики, астрономии, механики, инженерных науках, баллистики) был настолько высок, что они требовали выполнения огромного количества вычислений, выходящих за пределы возможностей человека, не вооруженного соответствующей техникой.

Видимо, насущная необходимость решения такого рода проблем и побудила «взяться за дело» английского математика и инженера Чарльза Бебиджа. В 1822 году он спроектировал (и почти 30 лет строил) «разностную» или «аналитическую» машину. Работа так и не была завершена, но в конструкцию машины были заложены принципы, ставшие фундаментальными для вычислительной техники: автоматическое выполнение операций; работа по заранее составленной программе, необходимость специального устройства – памяти. Революционные идеи натолкнулись на невозможность их реализации на основе механической техники. Они настолько опередили свое время, что были в значительной мере забыты и «переоткрыты» заново в следующем столетии.

Между тем, в 1845 г. английский астроном и математик Джон Адамс, занимаясь расчетом орбиты планеты Нептун, разработал численный метод решения дифференциальных уравнений, отличающийся от метода Эйлера более высокой точностью и экономичностью. При этом все расчеты были проведены им вручную.

Однако в большинстве случаев исследователи стремились избегать больших вычислений. Сложные математические модели, для которых не удавалось получить ответ в виде формул, либо вообще не рассматривались, либо упрощались с помощью дополнительных предположений.

К началу XX века многие, важные в практическом отношении, задачи «не решались», хотя и были построены соответствующие математические модели, и был принципиально ясен путь их решения. Скопилось столько неотложных проблем, что большое внимание стали уделять разработке эффективных вычислительных схем и в крайних случаях проводили вычисления вручную.

В 1885 г. немецкий физик и математик Карл Рунге высказал основную идею метода численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, которую в 1901 г. развил и усовершенствовал Вильгельм Кутта. На этой основе была разработана целая серия вычислительных методов («методы Рунге-Кутта») различной степени точности.

В 1910 г. английский геофизики Льюис Ричардсон представил в Английское Королевское общество пятидесятистраничную статью, посвященною численному анализу дифференциальных уравнений в частных производных. Ричардсон разработал итерационные методы решения уравнения Лапласа, бигармонического уравнения и ряда других уравнений, а также предложил проверять численные решения сравнением с точным решением «модельных» задач. Наконец, он впервые применил численные методы к такой практической задаче большого масштаба, как определение напряжений в каменной дамбе.

В 1911 г. академик А. Н. Крылов, занимаясь расчетами математических моделей в теории устойчивости конструкций кораблей, выпустил первый в мировой научной литературе курс по численным методам «Лекции о приближенных вычислениях».

В 1928 г. появилась основополагающая работа Куранта, Фридрихса и Леви, посвященная численному решению дифференциальных уравнений  в частных производных. Авторы в основном интересовались использованием конечно-разностных методов решения дифференциальных уравнений как инструмента в чистой математике. Дискретизируя дифференциальные уравнения, доказывая сходимость дискретной системы к дифференциальной и, наконец, устанавливая существование решение дискретной системы алгебраическими методами, они доказывали теоремы существования и единственности решений для эллиптических, гиперболических и параболических дифференциальных уравнений. В этой работе было также получено и объяснено знаменитое необходимое условие устойчивости Куранта – Фридрихса – Леви, которое в современной терминологии гласит, что число Куранта должно быть меньше единицы.

В 30-е годы авиастроение всех передовых стран столкнулось с явлением флаттера. Оно неожиданно возникало при увеличении скорости самолета и приводило к его разрушению в воздухе. По сути флаттер представляет собой автоколебания конструкции самолета. Проблема была решена в нашей стране. М.В. Келдыш разработал эффективную математическую модель флаттера и на основе численных расчетов фазовых траекторий узлов фюзеляжа и крыльев сформулировал практические советы для конструкторов, следуя которым можно было избежать флаттера. Благодаря работам Келдыша авиастроение нашей страны к началу второй мировой войны избавилось от этой сложной проблемы, стоявшей на пути развития скоростной авиации.

В 1938 г. произошло событие, которое оказало огромное влияние не только на развитие науки и техники, но и на развитие всего человечества. Ганном и Штрассманом была открыта реакция деления ядер урана. Стало ясно, что можно практически осуществить цепную реакцию и использовать выделяющуюся при этом огромную энергию, в частности, построить бомбу небывалой мощности. Данное открытие совпало с началом второй мировой войны. Сначала в США (1941 г.), а затем в нашей стране (1943 г.) начались работы по созданию атомного оружия. Это были гигантские проекты, масштабы задач которых даже сейчас поражают своей грандиозностью.

Для решения возникающих задач, наряду с проведением физических экспериментов, разрабатывались физико-математические модели конструкций реакторов, процессов тепло- и массопереноса, а также модели процессов переноса излучения. На основе математических моделей проводились вычислительные эксперименты, результаты которых анализировались с целью выработки инженерных решений.

Примерно в тоже время параллельно с решением «основной» задачи начались работы по созданию «средств доставки» атомного оружия – ракетной баллистике.

Объемы вычислений, которых требовала «атомная проблема», были столь велики, что с ними не могли справиться существовавшие в то время вычислительные средства. Это послужило толчком к организации интенсивных разработок по созданию электронно-вычислительных машин.

За начало эры ЭВМ принимают 15 февраля 1946 года, когда в США был официально введен в строй электронный цифровой интегратор и калькулятор – ЭНИАК (Electronic Numerical Integrator and CalculatorENIAC).

С развитием ЭВМ стали по-настоящему уделять внимание дифференциальным уравнением параболического типа, поскольку стало возможным рассчитывать нестационарные решения. Были предложены десятки явных и неявных численных методов, в частности,  для решения задач одномерной нестационарной гидродинамики. В многомерном случае первым неявным методом был метод Кранка-Николсона, опубликованный в 1947 г. Этот метод остается одним из самых популярных и в настоящее время.

Начиная с 1948 г. под руководством академиков А.А. Самарского и А.Н.Тихонова разрабатываются численные методы и проводятся первые в нашей стране прямые расчеты мощности взрыва атомной, а позже – водородной бомбы, хорошо совпавшие с испытаниями. В этих работах были заложены основы математического моделирования и созданы важнейшие принципы конструирования и обоснования разностных схем и параллельных вычислений.

Практически одновременно с созданием в 1949 г. первой быстродействующей ЭВМ универсального назначения с хранимой программой (EDSAC), сконструированной учеными Манчестерского университета (Англия), появился метод Монте-Карло – метод статистического моделирования на ЭВМ систем со многими степенями свободы, сформулированный Джоном фон Нейманом и Станиславом Уламом. Применение метода Монте-Карло позволило получить значительные достижения в статистической физике и термодинамике жидкостей, физике твердого тела и физике плазмы, позволило изучать эволюцию звезд и звездных систем. Помимо моделирования физических процессов метод Монте-Карло находит широкое применение и для решения сугубо вычислительных задач, таких как численное интегрирование и решения оптимизационных задач.

Первая отечественная ЭВМ – МЭСМ («малая электронно-счетная машина») – была построена в 1951 г. под руководством С.А. Лебедева, крупнейшего советского конструктора вычислительной техники, руководившим созданием многих отечественных ЭВМ (в том числе и знаменитой БЭСМ-6). Основным заказчиком и первым крупным потребителем ЭВМ был научно-исследовательский институт НИИ-1, которым руководил М.В. Келдыш. Перед НИИ-1 была поставлена задача создать методы расчета и на их основе решить на ЭВМ всю совокупность задач, попадающих под атомную и ракетно-космическую проблематику. Вся эта огромная, впервые проводившаяся работа по созданию методов расчета и реализации их на ЭВМ стала основой нового направления в математике, оформившегося сегодня в ее самостоятельный раздел – вычислительную и прикладную математику. Работы М.В. Келдыша предопределили современное развитие в нашей стране вычислительной математики и, в первую очередь, численных методов решения задач математической физики.

Синтез достижений теоретической физики, численных методов математики и поистине фантастических вычислительных возможностей ЭВМ порождает новый подход к изучению явлений и объектов природы – вычислительный эксперимент. К концу 60-х годов XX века складывается новое направление в естествознании – вычислительная физика.

Современные успехи в решении таких важных для общества задач, как управление космическими полетами, использование атомной энергии, управление крупными предприятиями, и т.п. вряд ли были бы возможны без применения электронных вычислительных машин и численных методов.